La solución al enigma pastillero
Este problema estaba a la altura de Donald Knuth, reconocido matemático y merecedor de importantes premios, que fue quien lo propuso originalmente en "The American Mathematical Monthly". Con él, despedimos la temporada "a lo grande".
Debemos tener en cuenta que para que una pastilla pequeña de las que se encuentran inicialmente en el frasco siga en él cuando sacamos la última pastilla grande, esa pastilla pequeña debe ser la última en elegirse del grupo formado por ella misma y las 10 pastillas grandes. Esto ocurre con probabilidad 1/11. Como son 10 las pastillas pequeñas que tenemos originalmente, el número esperado de pastillas pequeñas (originales) que quedarán en el frasco tras la extracción de la última grande es de 10/11.
Análogamente, cuando sacamos la primera pastilla grande, la probabilidad de que la pastilla pequeña resultante sobreviva " a las pastillas grandes restantes es de 1/10. Cuando sacamos la segunda pastilla grande, la probabilidad de que la mitad que introducimos de nuevo en el frasco se quede en él es de 1/9 (debe ser la última en elegirse de entre el grupo formado por ella y las 8 grandes restantes). Siguiendo el razonamiento de forma análoga, cuando hemos sacado k pastillas grandes, la probabilidad de que la pequeña resultante de partir la grande por la mitad siga en el frasco es de 1/(10-k+1) (la pastilla debe elegirse la última del grupo formado por ella misma y las grandes restantes).
De este modo, considerando que tras sacar la última grande volvemos a introducir la mitad en el frasco, y teniendo en cuenta todo lo anterior, el número de pastillas que se debe esperar que queden es de
10/11+1/10+1/9+1/8+1/7+...+1/2+1, cuyo valor es aproximadamente 3,84. Por ello, debe esperarse que queden 4 pastillas en el interior.
El frasco tiene pastillas para 30 días, por lo que la última pastilla grande saldrá en el día 30- 4= 26
Felices vacaciones a todos.
